ЛАНДАУ ЗАТУХАНИЕ

Ландау затухание - бесстолкновительное затухание колебаний и волн в плазме. Космич. плазму во многих случаях можно считать бесстолкновительной в том смысле, что ср. время между соударениями намного превышает характерные времена происходящих в ней процессов, а длина свободного пробега частиц больше размеров, на к-рых развиваются эти процессы. В качестве примеров такой бесстолкновительной плазмы можно назвать магнитосферную плазму, плазму солнечного ветра, плазму пульсаров и т.д. Для бесстолкновительной плазмы доминирующим явл. коллективное взаимодействие волн и частиц, приводящее, в частности, к затуханию или возбуждению эл.-магн. волн. Наиболее простое и вместе с тем важное явление в коллективных взаимодействиях - резонансное взаимодействие волн и частиц. Классич. пример такого взаимодействия - Л. з. ленгмюровских колебаний в плазме без магн. поля. Пусть в равновесной плазме возбуждена ленгмюровская волна (см. Плазма) достаточно малой амплитуды, распространяющаяся вдоль оси x: , (1) где - соответственно амплитуда электрич. поля, волновое число и частота волны, t - время. Суть Л. з. состоит в том, что резонансное взаимодействие этой волны с электронами плазмы приводит к экспоненциальному затуханию амплитуды электрич. поля волны со временем: , где < 0 - декремент затухания волны. Рис. 1. Захваченные (1,2) и пролётные (3,4) электроны (1,4 - догоняющие, 2,3 - отстающие). Физ. механизм Л. з. сводится к обмену энергией между волной и группой резонансных электронов, скорости (v) к-рых в направлении распространения волны близки к её фазовой скорости , т.е. удовлетворяют условию черенковского резонанса: kv. Рассмотрим движение электронов в системе координат, движущейся вместе с волной (). В этой системе волна (1) представляет собой квазистационарное возмущение электрич. поля с потенциалом - амплитуда потенциала. Электроны в таком поле можно разделить на две группы. Электроны, скорости к-рых удовлетворяют условию , (2) совершают колебания в потенциальных ямах между точками с макс. потенциалом и наз. захваченными ( - компонент v вдоль направления распространения волны). Энергия остальных, т.н. пролётных, электронов достаточно велика для преодоления потенциального барьера (рис. 1). Для достаточно малых значений (см. ниже) Л. з. обусловлено в основном пролётными электронами. При движении над профилем потенциала волны они периодически попадают то в ускоряющую, то в тормозящую фазу поля. Резонансными будут те электроны, скорости которых в этой системе отсчёта достаточно малы, так что время пролёта этими электронами расстояния порядка длины волны больше или порядка характерного времени изменения амплитуды потенциала волны : , или . (3) Тогда при ускорении в пределах одной половины длины волны и торможении в пределах другой такие частицы будут взаимодействовать с волной разной амплитуды и в среднем за период будут получать энергию от волны или же отдавать ей свою энергию. Соотношение (3) определяет (по порядку величины) интервал скоростей резонансных частиц (рис. 2). Согласно ур-нию движения, резонансные электроны с (отстающие частицы) проводят больше времени в ускоряющих фазах и в среднем отбирают энергию у волны, ускоряясь за счёт её энергии, а резонансные частицы с v_ф$" align="absmiddle" width="54" height="15" > (догоняющие частицы) большую часть времени находятся в тормозящих фазах, они отдают энергию волне и тормозятся. Поскольку скорость затухания определяется балансом отстающих и догоняющих частиц, то величина декремента затухания существенным образом зависит от поведения функции распределения f0 электронов по в резонансной области. Это обстоятельство выражается в том, что декремент затухания пропорционален производной от f0 по при : . (4) Рис. 2. Резонансные частицы на функции распределения электронов равновесной плазмы. Площадь с наклонной штриховкой - резонансные частицы с (отстающие частицы). Площадь с вертикальной штриховкой - догоняющие резонансные частицы v_ф$" align="absmiddle" width="54" height="15" >. В равновесной плазме с распределением Максвелла по скоростям (число отстающих резонансных частиц больше числа догоняющих), поэтому волна в такой плазме затухает. При этом . (5) Если , т.е. длина ленгмюровских волн намного больше дебаевского радиуса экранирования ( - ср. тепловая скорость электронов, - ленгмюровская частота), то затухание мало (за характерное время затухания успевает произойти много колебаний: ). Это объясняется (как видно из дисперсионного ур-ния для ленгмюровских волн тем, что при частота и фазовая скорость волн () велика по сравнению с . В результате число резонансных электронов мало (т.к. большинство электронов в равновесной плазме имеет скорости ). При уменьшении и число резонансных частиц растёт, соответственно увеличивается . Если становится порядка или меньше D, то декремент затухания сравнивается по порядку величины с , и из-за очень сильного Л. з. такие волны фактически не распространяются в плазме. При возбуждении в плазме ленгмюровской волны достаточно большой амплитуды \gamma/k$" align="absmiddle" width="116" height="21" > имеет место т.н. нелинейное Л. з. Для такой волны ширина резонансной области по скоростям [см. (3)] сравнима с шириной области захвата (2), поэтому динамика нелинейного Л. з. в основном определяется движением захваченных электронов. В системе отсчёта, связанной с волной, такие электроны совершают периодич. движения в потенциальных ямах, созданных волной, с характерным периодом порядка . Отражаясь от стенок потенциальной ямы и изменяя при этом свою скорость, электроны обмениваются энергией с волной. Догоняющие электроны отдают часть своей энергии волне, а отстающие получают энергию от волны. Для равновесного распределения электронов по скоростям отстающих частиц больше, чем догоняющих, поэтому, как и в случае волны малой амплитуды, происходит затухание волны с декрементом . После столкновения частиц со стенками потенциальной ямы ф-ция распределения по скоростям полностью перестраивается; при этом обе группы частиц "меняются" местами: если в начальном распределении преобладали частицы, отстающие от волны (), то теперь становится больше догоняющих частиц ( 0$" align="absmiddle" width="128" height="20" >). За счёт этого затухание волны сменяется её нарастанием. Через время картина опять изменяется, т.е. амплитуда волны осциллирует во времени с характерным периодом . Периодич. осцилляции декремента и амплитуды будут происходить только в том случае, когда резонансные частицы синхронно колеблются в потенциальной яме. На самом деле из-за различия скоростей электроны в потенциальных ямах колеблются с разными периодами . Вследствие этого при достаточно больших временах произойдёт "фазовое перемешивание" резонансных частиц - число догоняющих и отстающих частиц сравняется. Декремент затухания обратится в нуль, и установится волна постоянной амплитуды. Ф-ция распределения резонансных частиц при таком перемешивании становится быстро осциллирующей функцией скорости. Т.о., бесстолкновительное затухание волны возможно только в случае достаточно малых амплитуд волн, когда . В обратном предельном случае после неск. колебаний амплитуды установится стационарный уровень амплитуды волны, отличающийся от начального на малую величину (рис. 3). При наличии в плазме пучка электронов производная от ф-ции распределения может быть положительной в определённом интервале скоростей. Тогда взаимодействие волны с резонансными частицами приводит к нарастанию со временем амплитуды волны, фазовая скорость к-рой лежит в этом интервале. Это явление наз. пучковой неустойчивостью (см. Неустойчивости плазмы), оно представляет собой обращение эффекта Л. з. при наличии инверсной ф-ции распределения ( 0$" align="absmiddle" width="87" height="18" >). Рис. 3. Зависимость от времени амплитуды потенциала волны: I - волна малой амплитуды (), II - волна большой амплитуды (). Особенностью Л. з., как и всякого другого процесса, сохраняющего энтропию (отсутствуют соударения), явл. его обратимость. Обратимость, сохраняющаяся до тех пор, пока влиянием соударений можно пренебречь, имеет место и для волны малой амплитуды. В этом случае фазовая "память" о волне (быстрые осцилляции ф-ции распределения f электронов по ) остаётся даже после её затухания. Она не создаёт никаких макроскопически наблюдаемых эффектов (поскольку интеграл по скорости от быстрых осцилляции стремится к нулю с ростом времени). Если же в плазме возбудить ещё одну ленгмюровскую волну, то через нек-рое время после её затухания возникнет самопроизвольное возмущение плотности заряда и электрич. поля - плазменное эхо. Возникновение эха связано с интерференцией мелкомасштабных осцилляции f, создаваемых волнами. В нек-рый момент времени происходит компенсация фаз осцилляции (f перестаёт осциллировать), что и приводит к изменению макроскопич. параметров плазмы. Необратимость возникает за счёт "сглаживания" мелкомасштабных осцилляции ф-ции распределения, обусловленного парными соударениями. Механизм "сглаживания" - диффузия частиц в пространстве скоростей - включается, когда масштаб осцилляции по скоростям на ф-ции распределения достигает малых размеров, причём время диффузии существенно меньше времени между соударениями. В результате диффузии на ф-ции распределения резонансных частиц образуется плато. Переход к "сглаженной" ф-ции распределения соответствует увеличению энтропии, т.е. такой переход необратим. Рис. 4. Функции распределения электронов f0e (широкая) и ионов f0i в неизотермической плазме (). В отсутствие внеш. магн. поля в плазме помимо ленгмюровских волн могут распространяться эл.-магн. и ионно-звуковые волны. Эл.-магн. волны не испытывают Л. з., т.к. их фазовая скорость превышает скорость света. Ионно-звуковые колебания могут затухать за счёт резонансного взаимодействия как с электронами, так и с ионами плазмы. Л. з. на электронах всегда достаточно мало. Это связано с тем, что фазовая скорость ионного звука (М - масса иона плазмы, Te - электронная темп-ра) мала по сравнению с тепловой скоростью электронов (). В результате резонансная область по скоростям лежит вблизи максимума f0 (рис. 4), где разность числа отстающих и догоняющих электронов мала (т.е. мала ) и, следовательно, мал декремент затухания [см. (4)]. Его величина: , где - частота ионно-звуковой волны. Л. з. ионно-звуковых волн из-за взаимодействия с резонансными ионами весьма велико в изотермич. плазме ( - темп-ра ионов). В этом случае декремент Л. з. сравним по порядку величины с частотой, т.е. ионно-звуковые волны в изотермич. плазме не распространяются. Условием существования слабозатухающего ионного звука в плазме явл. её неизотермичность (). При этом фазовая скорость ионно-звуковой волны намного превышает тепловую скорость ионов и в резонанс с волной попадает малая группа ионов (рис. 4), в силу чего декремент затухания волны мал по сравнению с частотой волны . (8) В плазме, помещённой в магн. поле, условие резонансного взаимодействия волн и частиц изменяется на следующее: . Здесь - проекции волнового вектора и скорости частицы на направление магн. поля, - частота ларморовского вращения резонансных частиц в магн. поле, n - целое число. В этом случае кроме обычного Л. з. (n = 0) возможно также циклотронное затухание (резонансы с ). Лит.: Арцимович Л.А., Сагдеев Р.3., Физика плазмы для физиков, М., 1979; Кадомцев Б.Б., Коллективные явления в плазме, М., 1976. (В.И. Шевченко)